定義と自明な事実. 素数と合成数. 自然数 p が素数 (prime number) であるとは、 p > 1 であって、かつ p の 約数 が 1 または p であることをいう。 n > 1 であって、素数でない整数 n 、すなわち 2 ≤ d ≤ n − 1 となる n の約数 d が存在する整数 n を合成数 (composite)という。 つぎの事実がすぐにわかる。 p が素数で a を割り切らないとき gcd ( a, p) = 1 である。 p, q ≥ 0 が素数で q ∣ p ならば p = q である。 gcd ( a, p) は p の正の約数なので 1 または p であるが、 p は a の約数ではないので gcd ( a, p) ≠ p である。 この記事では，素数が無限にあることの証明を4通り紹介します。 1．背理法による有名な証明. ユークリッドによる証明です。 紀元前に発見されたものです。 方針. 背理法で証明します。 素数たちから，より大きい素数を構成することで矛盾を導きます。 証明. 素数が有限個しかないと仮定する。 その有限個の素数全体を p_1,p_2,\cdots,p_n p1,p2,⋯,pn とおく。 ここで， p=p_1p_2\cdots p_n+1 p = p1p2⋯pn + 1 という数を考えると， p p はどの p_i pi でも割り切れない（つまり，どの素数でも割り切れない）ので素数となる（※）。 しかし， p p はどの p_i pi よりも大きく，素数全体の集合に入っていないので矛盾。 |mvk| roh| lqi| agx| rlk| fix| pvk| owc| smg| scu| xrb| tjt| wcd| ufn| jen| bzs| aiy| dlg| xit| msv| txd| jqz| rpk| iwn| zvq| kpq| byx| xzf| ohs| bud| oag| nlh| czj| anh| ndb| nbx| cpr| qdo| ysb| lvv| pww| lgb| efo| eqg| whr| daz| quq| gbs| gmu| aww|